Geometria ellittica

La geometria ellittica o di Riemann è una geometria non euclidea ideata dal matematico Bernhard Riemann. Nasce dalla negazione del V postulato di Euclide, o equivalentemente dal IV.1 assioma di Hilbert. Tuttavia, affinché sia una teoria assiomatica coerente, è necessario modificare anche l'assioma di ordinamento. Tale geometria è localmente equivalente alla geometria sferica. Nella sua abilitazione all'insegnamento, presso l'Università di Gottinga, Riemann esordì così:

Corpo assiomatico

Con riferimento alla classificazione assiomatica proposta da Hilbert per la geometria euclidea, riportiamo di seguito quella relativa alla geometria ellittica.

I - Assiomi di appartenenza

II - Assiomi di ordinamento

III - Assiomi di congruenza

IV - Assioma di Riemann

V - Assioma di continuità (o di Dedekind)

Modelli di geometria ellittica

I modelli della geometria ellittica (come quella sferica) sono modelli sintattici della geometria euclidea, che hanno come conseguenza la non contraddittorietà della geometria ellittica piana, supposta la non contraddittorietà della geometria euclidea piana.

Dato un punto O dello spazio euclideo, chiamiamo stella di centro O l'insieme di tutte le rette e di tutti i piani passanti per O. Definiamo tale interpretazione come segue:

In base a tali definizioni gli assiomi della geometria ellittica diventano proposizioni dimostrabili della geometria euclidea della stelle di rette e piani.

A questo modello si può apportare una prima modifica in modo da renderlo più intelligibile. Possiamo considerare l'intersezione di una stella di centro O con una sfera di centro O. Così facendo gli enti geometrici della stella possono essere reinterpretati come le intersezioni di tali elementi con la superficie della sfera.

Un'ulteriore modifica consente una semplificazione ulteriore del modello che lo rende molto simile al modello della geometria sferica su una sfera. Tale modifica consiste nel prendere in esame l'intersezione della stella di centro O con una semisfera di centro O.

Il modello di stella di centro O può essere visto come la proiezione stereografica di una semisfera di centro O prodotta dall'intersezione di un piano passante per O, da cui si può meglio intuire l'equivalenza locale tra la geometria sferica e la geometria ellittica.

Teoremi della geometria ellittica piana

La circonferenza
La circonferenza è definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto dato detto centro. Si dimostra che una circonferenza può anche essere definita come il luogo dei punti equidistanti da una retta data.
Area di un triangolo
Dato un triangolo sferico costruito su una sfera di raggio R di angoli $\alpha ,\beta ,\gamma$ , l'area A del triangolo è:
$A=R^{2}(\alpha \beta \gamma -\pi )$ .
Somma degli angoli interni di un triangolo
Dalla relazione precedente subito discende che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di $\pi$ :
$\alpha \beta \gamma =\pi A/R^{2}$ .
Criteri di congruenza tra triangoli
Sono uguali due triangoli sferici che abbiano ordinatamente uguali:

due lati e l'angolo compreso;
due angoli e il lato comune
i tre lati;
i tre angoli.

Teorema di Pitagora
Se ABC è un triangolo sferico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno dell'ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti: $\cos(a/k)=\cos(b/k)\cos(c/k)$ Facendo lo sviluppo in serie al secondo ordine delle funzioni trigonometriche, si ottiene l'espressione universalmente nota del Teorema di Pitagora in geometria euclidea: $a^{2}=b^{2} c^{2}$
Area di un poligono sferico
L'area di un poligono sferico di n lati è:
$A=R^{2}(\alpha _{1} \alpha _{2} ... \alpha _{n}-(n-2)\pi )$ .
La sua dimostrazione si basa sulla possibilità di scomporre un poligono sferico in triangoli.
Tutte le perpendicolari a una retta concorrono in un punto.
In un triangolo rettangolo l'angolo opposto a uno dei due lati dell'angolo retto è acuto, ottuso o retto a seconda che tale lato è minore, maggiore o congruente all'altro lato dell'angolo retto.

Teoremi della geometria ellittica nello spazio

Una retta e un piano hanno sempre un punto in comune
Due piani hanno sempre una retta in comune
Tutte le rette perpendicolari a un piano si incontrano in un punto posto a distanza d da esso.
Il luogo dei punti a distanza d da un punto P è un piano che è perpendicolare a tutte le rette passanti per P. Tale piano è detto piano polare di P e P è detto polo.
Se il punto P sta sul piano a, il polo di a sta sul piano polare di P.

La trigonometria sferica nello spazio ellittico, se si adottano opportune convenzioni sulla misura dei lati e degli angoli dei triangoli sferici, coincide con la trigonometria sferica euclidea e iperbolica. Cioè la trigonometria sferica appartiene al corpo della geometria assoluta.